Contexto da empresa, variáveis de decisão, restrições e função objetivo.
Região viável, vértices e a reta de lucro varrendo até o ótimo.
Forma padrão, variáveis de folga e pivoteamento iteração a iteração.
Modelagem na planilha e validação do resultado.
Folga vs. excesso, gargalos e preço-sombra.
O que a solução significa para o negócio.
Uma software house de Presidente Prudente entrega, a cada ciclo de produção, dois produtos digitais. A equipe é limitada — só há tantas horas de cada especialidade por mês.
A pergunta de negócio:
“Quantas unidades de cada produto devemos entregar para maximizar o lucro, sem estourar a capacidade da equipe?”
Módulos sob medida vendidos para clientes corporativos. Lucro: R$ 80 / unidade.
Aplicativos publicados nas lojas. Lucro: R$ 120 / unidade.
São as quantidades que nós controlamos — o que o modelo vai decidir.
Quantidade de módulos Web a produzir no ciclo.
Quantidade de aplicativos mobile a produzir no ciclo.
Condição de não-negatividade: x₁ ≥ 0 e x₂ ≥ 0 — não dá para produzir quantidade negativa.
O que queremos otimizar — aqui, maximizar o lucro total Z.
lucro de cada Sistema Web entregue (coeficiente de x₁).
lucro de cada App Mobile entregue (coeficiente de x₂).
| Recurso (horas/ciclo) | x1 | x2 | Disp. |
|---|---|---|---|
| Desenvolvimento | 1 | 1 | 7 |
| Design (UX/UI) | 1 | 2 | 10 |
| Testes (QA) | 3 | 1 | 20 |
Cada produto “consome” horas de cada especialidade. O total usado não pode passar do disponível ⇒ sinais de ≤.
2 variáveis · 3 restrições · maximização → resolvido a seguir de três formas.
Para usar o Simplex, transformamos cada inequação ≤ em igualdade somando uma variável de folga (f) — o recurso que “sobra”.
Solução Básica Inicial: variáveis de decisão = 0; as folgas f₁=7, f₂=10, f₃=20 entram na base.
Há valores negativos na linha Z (−80, −120) ⇒ ainda não é o ótimo. Começamos o pivoteamento.
Nova solução: x₂ = 5 → Z = 600. Equivale ao vértice (0, 5) do gráfico.
Nova solução: x₁ = 4, x₂ = 3 → Z = 680. Vértice (4, 3).
Linha Z sem valores negativos nas variáveis de decisão ⇒ solução ótima alcançada. A resposta está na coluna T.I.
Lucro máximo de R$ 680 por ciclo de produção.
No quadro final: f₁ = 0, f₂ = 0, f₃ = 5. Cada folga é o recurso que sobrou.
Folga = 0 → recurso totalmente usado = gargalo. Desenvolvimento e Design limitam o lucro.
Folga = 5 → sobram 5 h de QA. Há capacidade ociosa de testes que não está restringindo nada.
Some +f para virar igualdade. É o caso do nosso modelo — todas as restrições são ≤.
Subtrai −e. Apareceria, por ex., num contrato mínimo de entregas: x₁ + x₂ ≥ 3.
Nosso PPL só tem folga (todas ≤). Se houvesse uma meta mínima, a variável de excesso mediria o quanto a produção supera essa meta.
| B | C | D | E | F | G | H | J | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 8 | F. Objetivo | Restrições | ||||||
| 9 | Variáveis | x1 | x2 | Linha | x1 | x2 | LDE | |
| 10 | Coefic. | 80 | 120 | Desenv. | 1 | 1 | 7 | |
| 11 | Design | 1 | 2 | 10 | ||||
| 12 | Result. | Testes | 3 | 1 | 20 | |||
| 13 | Variáveis | x1 | x2 | |||||
| 14 | Valor Var | 4 | 3 | |||||
| 15 | Valor Z | 680 |
$F$15$F$14:$G$14I10≤J10 · I11≤J11 · I12≤J12LDE = lado direito da equação. As fórmulas LEE (ex.: =F14*G10+G14*H10) calculam o recurso usado; o Solver acha x₁ e x₂.
Como usamos LP Simplex, é uma solução ótima global: x₁ = 4, x₂ = 3, Z = 680 — idêntica ao Simplex manual e ao gráfico.
Bônus — Relatório de Sensibilidade (preço-sombra de cada recurso):
| Recurso | Folga | Preço-sombra |
|---|---|---|
| Desenvolvimento | 0 | +R$ 40 |
| Design | 0 | +R$ 40 |
| Testes (QA) | 5 | R$ 0 |
Cada hora extra de Desenvolvimento ou Design renderia +R$ 40 de lucro. QA, que tem folga, vale R$ 0 — não adianta contratar mais testers.
Vértice ótimo (4, 3)
Z=6802 iterações, quadro final
Z=680LP Simplex no Excel
Z=680O método gráfico dá a intuição, o Simplex escala para muitas variáveis e o Solver automatiza — todos confirmam o mesmo ótimo.
Investir em + horas de Desenvolvimento e Design (preço-sombra R$ 40/h) destrava mais lucro. Realocar parte da equipe de QA ociosa para essas frentes é a alavanca mais barata.
É exatamente isso que a Programação Linear entrega: não só “qual é a resposta”, mas onde mexer para melhorá-la.
Perguntas? Vamos discutir.
Programação Linear e Aplicações · FATEC Prudente · 5º ADS · 10/06/2026